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Calcolare i seguenti limiti:
,
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Si ha
Per il secondo limite poi
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Meglio:
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o anche
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Prova che la funzione f(x) = e-x+3x verifica le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri nell’intervallo [-1,0]. Attraverso la rappresentazione dei grafici di due funzioni elementari opportune metti in evidenza questo zero. Applica il metodo di bisezione per ottenere una approssimazione di questo zero a meno di un decimo
La funzione e-x è una funzione facilmente riconducibile a una funzione elementare continua su tutto R. Così
è anche per la funzione 3·x. Dunque f(x), in quanto somma di due funzioni continue, è continua su tutto R.
In particolare è continua su [-1,0] e f(-1)=e-1–3 < 0 mentre f(0) = 1.
Essendo la funzione continua su un intervallo limitato e chiuso, con valore discorde agli estremi,
siamo certi dell'esistenza di almeno uno zero.
D'altra parte la figura seguente, che rappresenta le funzioni e-x e -3x ci
consente di visualizzare tale zero.
Traccia del metodo di bisezione, fino alla approssimazione richiesta, è la seguente
f(-1/2)>0
f(-1/2-1/4)<0
f(-1/2-1/4+1/8)<0
f(-1/2-1/4+1/8+1/16)>0
Poiché 1/16 < 1/10 possiamo dire di aver gia raggiunto l'approssimazione richiesta
x=-1/2-1/4+1/8+1/16=-9/16=-0.5625@-0.6.
Usando ad esempio una calcolatrice grafico-simbolica
nSolve(e^(-x)+3x=0,x)
x=-6.19061E-1
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Nel piano xOy tracciare il grafico γ della parabola con asse di simmetria y = 2 e tangente in O(0,0) alla retta y = –x/4. Tracciare anche il grafico γ1 della simmetrica di γ rispetto all’asse y. Detto M l’ulteriore punto intersezione di γ e γ1, condurre una retta t parallela all’asse x che intersechi il segmento OM e incontri γ in P e γ1 in Q. Calcolare il limite del rapporto tra la lunghezza del lato PQ del triangolo OPQ e l’altezza relativa al tendere di t all'asse x.
Poiché la parabola passa per (0,0) e ha asse y=2 allora passerà anche per (0,4).
Dunque avrà equazione del tipo
x = a·y(y-4)
ovvero
a·y2 – x – 4a·y = 0
Col metodo di sdoppiamento la tangente in (0,0) deve aver equazione
a·y·0 – (x+0)/2 – 4a·(y+0)/2 = 0
cioè
x + 4a·y = 0
che deve coincidere con y=-x/4. Quindi a = 1.
La curva simmetrica di questa parabola rispetto all'asse y avrà equazione x=-y(y-4).
I punti P(y(y-4),y) e Q(-y(y-4),y) distano -2y(y-4) per yÎ[0,4].
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Dato il settore circolare AOB di centro O, raggio r e ampiezza π/4, condurre da un punto P dell’arco AB la parallela a OA che incontri in H la tangente in A all’arco AB e, sempre da P, la parallela a OB che incontri OA in Q. Calcolare
Indicato con x l'angolo AOP, con xÎ[0,π/4], si avrà
PH di lunghezza r-r·cosx
PQ di lunghezza Ö2·r·sinx
quindi si tratta di calcolare
Tale calcolo può essere fatto ricorrendo a limiti notevoli